Solucionar 4y(y-1)+1=0

$$4 y ( y - 1 ) + 1 = 0$$

Resolver para y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4y por y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 4y^{2}+ay+by+1. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La solución es el par que proporciona suma -4.

$$a=-2 b=-2$$

Vuelva a escribir 4y^{2}-4y+1 como \left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right).

$$\left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right)$$

Factoriza 2y en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$2y\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)$$

Simplifica el término común 2y-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(2y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(2y-1\right)^{2}$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2y-1=0.

$$y=\frac{1}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4y por y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 4 por a, -4 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Obtiene el cuadrado de -4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Suma 16 y -16.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$y=-\frac{-4}{2\times 4}$$

El opuesto de -4 es 4.

$$y=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$y=\frac{4}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{4}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4y por y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Resta 1 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$4y^{2}-4y=-1$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=-\frac{1}{4}$$

Divide -4 por 4.

$$y^{2}-y=-\frac{1}{4}$$

Divida -1, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{1}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Suma -\frac{1}{4} y \frac{1}{4}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=0$$

Factor y^{2}-y+\frac{1}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y-\frac{1}{2}=0 y-\frac{1}{2}=0$$

Suma \frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$y=\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.

$$y=\frac{1}{2}$$