Solucionar 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Resolver para x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos con sustitución

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Elija una de las ecuaciones y resuelva el x x en el lado izquierdo del signo igual.

$$4x-y=5$$

Suma y a los dos lados de la ecuación.

$$4x=y+5$$

Divide los dos lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Sustituye \frac{5+y}{4} por x en la otra ecuación, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplica -4 por \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Suma -y y 5y.

$$4y-5=7$$

Suma 5 a los dos lados de la ecuación.

$$4y=12$$

Divide los dos lados por 4.

$$y=3$$

Sustituye 3 por y en x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} y \frac{3}{4}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=2$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos con matrices

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplica la ecuación por la matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), por lo que la ecuación de la matriz se puede reescribir como un problema de multiplicación de la matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=2,y=3$$

Pasos con eliminación

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Para que 4x y -4x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por -4 y todos los términos de cada lado de la segunda por 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Simplifica.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Resta -16x+20y=28 de -16x+4y=-20. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Suma -16x y 16x. Los términos -16x y 16x se anulan entre sí y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$4y-20y=-20-28$$

Suma 4y y -20y.

$$-16y=-20-28$$

Suma -20 y -28.

$$-16y=-48$$

Divide los dos lados por -16.

$$y=3$$

Sustituye 3 por y en -4x+5y=7. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplica 5 por 3.

$$-4x+15=7$$

Resta 15 en los dos lados de la ecuación.

$$-4x=-8$$

Divide los dos lados por -4.

$$x=2$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$