Solucionar 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Resolver para x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 4x^{2}+ax+bx-81. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

La solución es el par que proporciona suma 48.

$$a=-6 b=54$$

Vuelva a escribir 4x^{2}+48x-81 como \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Simplifica 2x en el primer grupo y 27 en el segundo.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Simplifica el término común 2x-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2x-3=0 y 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 4 por a, 48 por b y -81 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Obtiene el cuadrado de 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Suma 2304 y 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Toma la raíz cuadrada de 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-48±60}{8} cuando ± es más. Suma -48 y 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{12}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-48±60}{8} cuando ± es menos. Resta 60 de -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{-108}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Suma 81 a los dos lados de la ecuación.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Al restar -81 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Resta -81 de 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Divide 48 por 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Divida 12, el coeficiente del término x, por 2 para obtener 6. A continuación, agregue el cuadrado de 6 a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Obtiene el cuadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Suma \frac{81}{4} y 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Factoriza x^{2}+12x+36. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplifica.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$