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Resolver para n
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4n^{2}-7n-11=0
Resta 11 en los dos lados.
a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44
Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 4n^{2}+an+bn-11. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.
1,-44 2,-22 4,-11
Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -44.
1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7
Calcule la suma de cada par.
a=-11 b=4
La solución es el par que proporciona suma -7.
\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)
Vuelva a escribir 4n^{2}-7n-11 como \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).
n\left(4n-11\right)+4n-11
Simplifica n en 4n^{2}-11n.
\left(4n-11\right)\left(n+1\right)
Simplifica el término común 4n-11 con la propiedad distributiva.
n=\frac{11}{4} n=-1
Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 4n-11=0 y n+1=0.
4n^{2}-7n=11
Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.
4n^{2}-7n-11=11-11
Resta 11 en los dos lados de la ecuación.
4n^{2}-7n-11=0
Al restar 11 de su mismo valor, da como resultado 0.
n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}
Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 4 por a, -7 por b y -11 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}
Obtiene el cuadrado de -7.
n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}
Multiplica -4 por 4.
n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}
Multiplica -16 por -11.
n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}
Suma 49 y 176.
n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}
Toma la raíz cuadrada de 225.
n=\frac{7±15}{2\times 4}
El opuesto de -7 es 7.
n=\frac{7±15}{8}
Multiplica 2 por 4.
n=\frac{22}{8}
Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{7±15}{8} dónde ± es más. Suma 7 y 15.
n=\frac{11}{4}
Reduzca la fracción \frac{22}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.
n=-\frac{8}{8}
Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{7±15}{8} dónde ± es menos. Resta 15 de 7.
n=-1
Divide -8 por 8.
n=\frac{11}{4} n=-1
La ecuación ahora está resuelta.
4n^{2}-7n=11
Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.
\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}
Divide los dos lados por 4.
n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}
Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.
n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}
Divida -\frac{7}{4}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{7}{8}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{7}{8} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.
n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}
Obtiene el cuadrado de -\frac{7}{8}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.
n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}
Suma \frac{11}{4} y \frac{49}{64}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).
\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}
Factor n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}
Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.
n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}
Simplifica.
n=\frac{11}{4} n=-1
Suma \frac{7}{8} a los dos lados de la ecuación.