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Resolver para k
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a+b=12 ab=4\times 9=36
Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 4k^{2}+ak+bk+9. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.
1,36 2,18 3,12 4,9 6,6
Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 36.
1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12
Calcule la suma de cada par.
a=6 b=6
La solución es el par que proporciona suma 12.
\left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right)
Vuelva a escribir 4k^{2}+12k+9 como \left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right).
2k\left(2k+3\right)+3\left(2k+3\right)
Factoriza 2k en el primero y 3 en el segundo grupo.
\left(2k+3\right)\left(2k+3\right)
Simplifica el término común 2k+3 con la propiedad distributiva.
\left(2k+3\right)^{2}
Reescribe como el cuadrado de un binomio.
k=-\frac{3}{2}
Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2k+3=0.
4k^{2}+12k+9=0
Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.
k=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}
Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 4 por a, 12 por b y 9 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
k=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}
Obtiene el cuadrado de 12.
k=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}
Multiplica -4 por 4.
k=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 4}
Multiplica -16 por 9.
k=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 4}
Suma 144 y -144.
k=-\frac{12}{2\times 4}
Toma la raíz cuadrada de 0.
k=-\frac{12}{8}
Multiplica 2 por 4.
k=-\frac{3}{2}
Reduzca la fracción \frac{-12}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.
4k^{2}+12k+9=0
Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.
4k^{2}+12k+9-9=-9
Resta 9 en los dos lados de la ecuación.
4k^{2}+12k=-9
Al restar 9 de su mismo valor, da como resultado 0.
\frac{4k^{2}+12k}{4}=-\frac{9}{4}
Divide los dos lados por 4.
k^{2}+\frac{12}{4}k=-\frac{9}{4}
Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.
k^{2}+3k=-\frac{9}{4}
Divide 12 por 4.
k^{2}+3k+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}
Divida 3, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{3}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{3}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.
k^{2}+3k+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}
Obtiene el cuadrado de \frac{3}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.
k^{2}+3k+\frac{9}{4}=0
Suma -\frac{9}{4} y \frac{9}{4}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).
\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}=0
Factor k^{2}+3k+\frac{9}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}
Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.
k+\frac{3}{2}=0 k+\frac{3}{2}=0
Simplifica.
k=-\frac{3}{2} k=-\frac{3}{2}
Resta \frac{3}{2} en los dos lados de la ecuación.
k=-\frac{3}{2}
La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.