Solucionar 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Resolver para x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Pasos de la solución

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplica los dos lados de la ecuación por x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4x^{2}+8x por x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4x^{3}+8x^{2} por x+2 y combinar términos semejantes.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -5x por x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Agrega 5x^{2} a ambos lados.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Combina 16x^{2} y 5x^{2} para obtener 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Agrega 10x a ambos lados.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Cambia el orden de la ecuación para ponerla en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 1 y q divide el 4 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-1$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 entre x+1 para obtener 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 1 y q divide el 4 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-1$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 entre x+1 para obtener 4x^{2}+8x+1. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 4 por a, 8 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Resuelva la ecuación 4x^{2}+8x+1=0 cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Mostrar todas las soluciones encontradas.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$