Solucionar 31x^2-18x+9=0

$$31 x ^ { 2 } - 18 x + 9 = 0$$

Resolver para x (solución compleja)

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31}\approx 0,290322581+0,453911203i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}\approx 0,290322581-0,453911203i$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$31x^{2}-18x+9=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 31 por a, -18 por b y 9 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 31\times 9}}{2\times 31}$$

Obtiene el cuadrado de -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 31\times 9}}{2\times 31}$$

Multiplica -4 por 31.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-124\times 9}}{2\times 31}$$

Multiplica -124 por 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-1116}}{2\times 31}$$

Suma 324 y -1116.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{-792}}{2\times 31}$$

Toma la raíz cuadrada de -792.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±6\sqrt{22}i}{2\times 31}$$

El opuesto de -18 es 18.

$$x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{2\times 31}$$

Multiplica 2 por 31.

$$x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{62}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{62} dónde ± es más. Suma 18 y 6i\sqrt{22}.

$$x=\frac{18+6\sqrt{22}i}{62}$$

Divide 18+6i\sqrt{22} por 62.

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{18±6\sqrt{22}i}{62} dónde ± es menos. Resta 6i\sqrt{22} de 18.

$$x=\frac{-6\sqrt{22}i+18}{62}$$

Divide 18-6i\sqrt{22} por 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-18x+9=0$$

Resta 9 en los dos lados de la ecuación.

$$31x^{2}-18x+9-9=-9$$

Al restar 9 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$31x^{2}-18x=-9$$

Divide los dos lados por 31.

$$\frac{31x^{2}-18x}{31}=-\frac{9}{31}$$

Al dividir por 31, se deshace la multiplicación por 31.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x=-\frac{9}{31}$$

Divida -\frac{18}{31}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{9}{31}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{9}{31} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x+\left(-\frac{9}{31}\right)^{2}=-\frac{9}{31}+\left(-\frac{9}{31}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{9}{31}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{18}{31}x+\frac{81}{961}=-\frac{9}{31}+\frac{81}{961}$$

Suma -\frac{9}{31} y \frac{81}{961}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{18}{31}x+\frac{81}{961}=-\frac{198}{961}$$

Factor x^{2}-\frac{18}{31}x+\frac{81}{961}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{31}\right)^{2}=-\frac{198}{961}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{198}{961}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{9}{31}=\frac{3\sqrt{22}i}{31} x-\frac{9}{31}=-\frac{3\sqrt{22}i}{31}$$

Suma \frac{9}{31} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{9+3\sqrt{22}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{22}i+9}{31}$$