Solucionar 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Resolver para t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 225 por t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Resta 225t^{2} en los dos lados.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Resta 4500t en los dos lados.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combina 30t y -4500t para obtener -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Resta 22500 en los dos lados.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -225 por a, -4470 por b y -22500 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Obtiene el cuadrado de -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplica -4 por -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplica 900 por -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Suma 19980900 y -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

El opuesto de -4470 es 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Multiplica 2 por -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} dónde ± es más. Suma 4470 y 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Divide 4470+30i\sqrt{299} por -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} dónde ± es menos. Resta 30i\sqrt{299} de 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Divide 4470-30i\sqrt{299} por -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 225 por t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Resta 225t^{2} en los dos lados.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Resta 4500t en los dos lados.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combina 30t y -4500t para obtener -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Divide los dos lados por -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Al dividir por -225, se deshace la multiplicación por -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Reduzca la fracción \frac{-4470}{-225} a su mínima expresión extrayendo y anulando 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Divide 22500 por -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Divida \frac{298}{15}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{149}{15}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{149}{15} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{149}{15}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Suma -100 y \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Factor t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Resta \frac{149}{15} en los dos lados de la ecuación.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$