Solucionar 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Resolver para b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 15b^{2}+ab+bb-8. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La solución es el par que proporciona suma -14.

$$a=-20 b=6$$

Vuelva a escribir 15b^{2}-14b-8 como \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Factoriza 5b en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Simplifica el término común 3b-4 con la propiedad distributiva.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3b-4=0 y 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 30 por a, -28 por b y -16 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Obtiene el cuadrado de -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplica -4 por 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplica -120 por -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Suma 784 y 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Toma la raíz cuadrada de 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

El opuesto de -28 es 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Multiplica 2 por 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Ahora, resuelva la ecuación b=\frac{28±52}{60} dónde ± es más. Suma 28 y 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Reduzca la fracción \frac{80}{60} a su mínima expresión extrayendo y anulando 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación b=\frac{28±52}{60} dónde ± es menos. Resta 52 de 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Reduzca la fracción \frac{-24}{60} a su mínima expresión extrayendo y anulando 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Suma 16 a los dos lados de la ecuación.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Al restar -16 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Resta -16 de 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Divide los dos lados por 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Al dividir por 30, se deshace la multiplicación por 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Reduzca la fracción \frac{-28}{30} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Reduzca la fracción \frac{16}{30} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Divida -\frac{14}{15}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{7}{15}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{7}{15} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{7}{15}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Suma \frac{8}{15} y \frac{49}{225}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Factor b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Simplifica.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Suma \frac{7}{15} a los dos lados de la ecuación.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$