Solucionar 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Resolver para x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Agrega 10x a ambos lados.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combina 3x y 10x para obtener 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -2x^{2}+ax+bx-15. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solución es el par que proporciona suma 13.

$$a=10 b=3$$

Vuelva a escribir -2x^{2}+13x-15 como \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factoriza 2x en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Simplifica el término común -x+5 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+5=0 y 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Agrega 10x a ambos lados.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combina 3x y 10x para obtener 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -2 por a, 13 por b y -15 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica -4 por -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica 8 por -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Suma 169 y -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica 2 por -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-13±7}{-4} dónde ± es más. Suma -13 y 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Reduzca la fracción \frac{-6}{-4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-13±7}{-4} dónde ± es menos. Resta 7 de -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Divide -20 por -4.

$$x=5$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Agrega 10x a ambos lados.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combina 3x y 10x para obtener 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Agrega 15 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$13x-2x^{2}=15$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Divide los dos lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Al dividir por -2, se deshace la multiplicación por -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Divide 13 por -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Divide 15 por -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Divida -\frac{13}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{13}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{13}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{13}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Suma -\frac{15}{2} y \frac{169}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Suma \frac{13}{4} a los dos lados de la ecuación.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$