Solucionar 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

Resolver para x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5,333333333$$

$$x=2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6x por x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Para calcular el opuesto de x^{2}-4x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x^{2} y -x^{2} para obtener 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x y 4x para obtener 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x+2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Suma -2 y 30 para obtener 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combina 5x^{2} y -2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Resta 28 en los dos lados.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Resta 28 de -4 para obtener -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx-32. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

La solución es el par que proporciona suma 10.

$$a=-6 b=16$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+10x-32 como \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 16 en el segundo grupo.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

Simplifica el término común x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-2=0 y 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6x por x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Para calcular el opuesto de x^{2}-4x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x^{2} y -x^{2} para obtener 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x y 4x para obtener 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x+2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Suma -2 y 30 para obtener 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combina 5x^{2} y -2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Resta 28 en los dos lados.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Resta 28 de -4 para obtener -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, 10 por b y -32 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Suma 100 y 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-10±22}{6} dónde ± es más. Suma -10 y 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

Divide 12 por 6.

$$x=2$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-10±22}{6} dónde ± es menos. Resta 22 de -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-32}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{16}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6x por x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Para calcular el opuesto de x^{2}-4x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x^{2} y -x^{2} para obtener 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combina 6x y 4x para obtener 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x+2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Suma -2 y 30 para obtener 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combina 5x^{2} y -2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Agrega 4 a ambos lados.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

Suma 28 y 4 para obtener 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

Divida \frac{10}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{5}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{5}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{5}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

Suma \frac{32}{3} y \frac{25}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

Resta \frac{5}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$