Solucionar 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Factorizar

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Pasos de la solución

Multiplique y combine términos semejantes.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Para factorizar la expresión, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante -16 y q divide el 3 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-4$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 entre x+4 para obtener 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Para factorizar el resultado, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante -4 y q divide el 3 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-4$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 3x^{3}+12x^{2}-x-4 entre x+4 para obtener 3x^{2}-1. Para factorizar el resultado, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 3 por a, 0 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Resuelva la ecuación 3x^{2}-1=0 cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Vuelva a escribir la expresión factorizada con las raíces obtenidas. El polinomio 3x^{2}-1 no se factoriza porque no tiene ninguna raíz racional.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Calcular

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Pasos de la solución

Combina 48x^{2} y -x^{2} para obtener 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$