Solucionar 3x+y-10=0;3x-y+4=0

$$3 x + y - 10 = 0 ; 3 x - y + 4 = 0$$

Resolver para x, y

$$x=1$$

$$y=7$$

Pasos con sustitución

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Elija una de las ecuaciones y resuelva el x x en el lado izquierdo del signo igual.

$$3x+y-10=0$$

Suma 10 a los dos lados de la ecuación.

$$3x+y=10$$

Resta y en los dos lados de la ecuación.

$$3x=-y+10$$

Divide los dos lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+10.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Sustituye \frac{-y+10}{3} por x en la otra ecuación, 3x-y+4=0.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y+4=0$$

Multiplica 3 por \frac{-y+10}{3}.

$$-y+10-y+4=0$$

Suma -y y -y.

$$-2y+10+4=0$$

Suma 10 y 4.

$$-2y+14=0$$

Resta 14 en los dos lados de la ecuación.

$$-2y=-14$$

Divide los dos lados por -2.

$$y=7$$

Sustituye 7 por y en x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 7+\frac{10}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 7.

$$x=\frac{-7+10}{3}$$

Suma \frac{10}{3} y -\frac{7}{3}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=1$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=1,y=7$$

Pasos con matrices

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplica la ecuación por la matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), por lo que la ecuación de la matriz se puede reescribir como un problema de multiplicación de la matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-3}&\frac{3}{3\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\left(-4\right)\\\frac{1}{2}\times 10-\frac{1}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=1,y=7$$

Pasos con eliminación

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Resta 3x-y+4=0 de 3x+y-10=0. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$3x-3x+y+y-10-4=0$$

Suma 3x y -3x. Los términos 3x y -3x se anulan entre sí y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$y+y-10-4=0$$

Suma y y y.

$$2y-10-4=0$$

Suma -10 y -4.

$$2y-14=0$$

Suma 14 a los dos lados de la ecuación.

$$2y=14$$

Divide los dos lados por 2.

$$y=7$$

Sustituye 7 por y en 3x-y+4=0. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$3x-7+4=0$$

Suma -7 y 4.

$$3x-3=0$$

Suma 3 a los dos lados de la ecuación.

$$3x=3$$

Divide los dos lados por 3.

$$x=1$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=1,y=7$$