Solucionar 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Resolver para x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Resta 6y en los dos lados.

$$3x+9-6y=0$$

Resta 9 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$3x-6y=-9$$

Considere la segunda ecuación. Agrega 12 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$-2x-2y=12$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Elija una de las ecuaciones y resuelva el x x en el lado izquierdo del signo igual.

$$3x-6y=-9$$

Suma 6y a los dos lados de la ecuación.

$$3x=6y-9$$

Divide los dos lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 6y-9.

$$x=2y-3$$

Sustituye 2y-3 por x en la otra ecuación, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multiplica -2 por 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Suma -4y y -2y.

$$-6y+6=12$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$-6y=6$$

Divide los dos lados por -6.

$$y=-1$$

Sustituye -1 por y en x=2y-3. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=-2-3$$

Suma -3 y -2.

$$x=-5$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=-5,y=-1$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Resta 6y en los dos lados.

$$3x+9-6y=0$$

Resta 9 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$3x-6y=-9$$

Considere la segunda ecuación. Agrega 12 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$-2x-2y=12$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplica la ecuación por la matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), por lo que la ecuación de la matriz se puede reescribir como un problema de multiplicación de la matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=-5,y=-1$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Resta 6y en los dos lados.

$$3x+9-6y=0$$

Resta 9 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$3x-6y=-9$$

Considere la segunda ecuación. Agrega 12 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$-2x-2y=12$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Para que 3x y -2x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por -2 y todos los términos de cada lado de la segunda por 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplifica.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Resta -6x-6y=36 de -6x+12y=18. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Suma -6x y 6x. Los términos -6x y 6x se anulan entre sí y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$12y+6y=18-36$$

Suma 12y y 6y.

$$18y=18-36$$

Suma 18 y -36.

$$18y=-18$$

Divide los dos lados por 18.

$$y=-1$$

Sustituye -1 por y en -2x-2y=12. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multiplica -2 por -1.

$$-2x+2=12$$

Resta 2 en los dos lados de la ecuación.

$$-2x=10$$

Divide los dos lados por -2.

$$x=-5$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=-5,y=-1$$