Solucionar 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Resolver para q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3q^{2}+aq+bq+16. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

La solución es el par que proporciona suma -19.

$$a=-16 b=-3$$

Vuelva a escribir 3q^{2}-19q+16 como \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Simplifica q en el primer grupo y -1 en el segundo.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Simplifica el término común 3q-16 con la propiedad distributiva.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3q-16=0 y q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 3 por a, -19 por b y 16 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Suma 361 y -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

El opuesto de -19 es 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Ahora resuelva la ecuación q=\frac{19±13}{6} cuando ± es más. Suma 19 y 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{32}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Ahora resuelva la ecuación q=\frac{19±13}{6} cuando ± es menos. Resta 13 de 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Divide 6 por 6.

$$q=1$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Resta 16 en los dos lados de la ecuación.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Al restar 16 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Divida -\frac{19}{3}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{19}{6}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{19}{6} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{19}{6}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Suma -\frac{16}{3} y \frac{361}{36}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Factoriza q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifica.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Suma \frac{19}{6} a los dos lados de la ecuación.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$