Solucionar 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Resolver para n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3n^{2}+an+bn-15. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

La solución es el par que proporciona suma -4.

$$a=-9 b=5$$

Vuelva a escribir 3n^{2}-4n-15 como \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Factoriza 3n en el primero y 5 en el segundo grupo.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Simplifica el término común n-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva n-3=0 y 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, -4 por b y -15 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Suma 16 y 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

El opuesto de -4 es 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{4±14}{6} dónde ± es más. Suma 4 y 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Divide 18 por 6.

$$n=3$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{4±14}{6} dónde ± es menos. Resta 14 de 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-10}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Suma 15 a los dos lados de la ecuación.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Al restar -15 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Resta -15 de 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Divide 15 por 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Divida -\frac{4}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{2}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{2}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{2}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Suma 5 y \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a los dos lados de la ecuación.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$