Solucionar 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Resolver para n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Resta 5 en los dos lados de la ecuación.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Al restar 5 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Resta 5 de -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 3 por a, 47 por b y -237 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Suma 2209 y 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Ahora resuelva la ecuación n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} cuando ± es más. Suma -47 y \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Ahora resuelva la ecuación n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} cuando ± es menos. Resta \sqrt{5053} de -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Suma 232 a los dos lados de la ecuación.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Al restar -232 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Resta -232 de 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Divide 237 por 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Divida \frac{47}{3}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener \frac{47}{6}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{47}{6} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{47}{6}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Suma 79 y \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Factoriza n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Simplifica.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Resta \frac{47}{6} en los dos lados de la ecuación.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$