Solucionar 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

Resolver para k

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0,223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0,223606798$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica los dos lados de la ecuación por 4k^{2}+1.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Para elevar \frac{-16k}{4k^{2}+1} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Expresa 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} como una única fracción.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Expresa \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) como una única fracción.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Expande \left(-16k\right)^{2}.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Calcula -16 a la potencia de 2 y obtiene 256.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Multiplica 3 y 256 para obtener 768.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

Resta 32 en los dos lados.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 768k^{2} por 4k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Factorice 16k^{4}+8k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 32 por \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Como \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} y \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} tienen el mismo denominador, reste sus numeradores para restarlos.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Haga las multiplicaciones en 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Combine los términos semejantes en 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Multiplica los dos lados de la ecuación por \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

Sustituir t por k^{2}.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 2560 por a, 512 por b y -32 por c en la fórmula cuadrática.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

Haga los cálculos.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

Resuelva la ecuación t=\frac{-512±768}{5120} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

Desde k=t^{2}, las soluciones se obtienen mediante la evaluación de la k=±\sqrt{t} de t positivos.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$