Solucionar 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Resolver para z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como z^{2}+az+bz+2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=1 b=2$$

Vuelva a escribir z^{2}+3z+2 como \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Simplifica z en el primer grupo y 2 en el segundo.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Simplifica el término común z+1 con la propiedad distributiva.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva z+1=0 y z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 3 por a, 9 por b y 6 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Suma 81 y -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Ahora resuelva la ecuación z=\frac{-9±3}{6} cuando ± es más. Suma -9 y 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Divide -6 por 6.

$$z=-1$$

Ahora resuelva la ecuación z=\frac{-9±3}{6} cuando ± es menos. Resta 3 de -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Divide -12 por 6.

$$z=-2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$z=-1 z=-2$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Al restar 6 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Divide 9 por 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Divide -6 por 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Divida 3, el coeficiente del término x, por 2 para obtener \frac{3}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{3}{2} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{3}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Suma -2 y \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factoriza z^{2}+3z+\frac{9}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Resta \frac{3}{2} en los dos lados de la ecuación.

$$z=-1 z=-2$$