Solucionar 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Factorizar

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Pasos de la solución

Para factorizar la expresión, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante -40 y q divide el 3 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-2$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 entre x+2 para obtener 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Para factorizar el resultado, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante -20 y q divide el 3 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=\frac{5}{3}$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 entre 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 para obtener x^{2}+4. Para factorizar el resultado, resuelva la ecuación donde sea igual a 0.

$$x^{2}+4=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, 0 por b y 4 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

El polinomio x^{2}+4 no se factoriza porque no tiene ninguna raíz racional.

$$x^{2}+4$$

Vuelva a escribir la expresión factorizada con las raíces obtenidas.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Calcular

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$