Solucionar 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Resolver para x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Resta 138 en los dos lados.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx-138. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

La solución es el par que proporciona suma 5.

$$a=-18 b=23$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+5x-138 como \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 23 en el segundo grupo.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Simplifica el término común x-6 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-6=0 y 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3x^{2}+5x=138$$

Resta 138 en los dos lados de la ecuación.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Al restar 138 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, 5 por b y -138 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Suma 25 y 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-5±41}{6} dónde ± es más. Suma -5 y 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divide 36 por 6.

$$x=6$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-5±41}{6} dónde ± es menos. Resta 41 de -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-46}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Divide 138 por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Divida \frac{5}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{5}{6}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{5}{6} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{5}{6}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Suma 46 y \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Resta \frac{5}{6} en los dos lados de la ecuación.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$