Solucionar 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Resolver para x

$$x=6$$

Pasos de la solución

Resta 2\sqrt{7-x} en los dos lados de la ecuación.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Expande \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calcula 3 a la potencia de 2 y obtiene 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-3} a la potencia de 2 y obtiene 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 9 por 2x-3.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{7-x} a la potencia de 2 y obtiene 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Suma 121 y 28 para obtener 149.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Resta 149-4x en los dos lados de la ecuación.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

Para calcular el opuesto de 149-4x, calcule el opuesto de cada término.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Resta 149 de -27 para obtener -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Combina 18x y 4x para obtener 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(22x-176\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Expande \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calcula -44 a la potencia de 2 y obtiene 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{7-x} a la potencia de 2 y obtiene 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 1936 por 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Resta 13552 en los dos lados.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Resta 13552 de 30976 para obtener 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Agrega 1936x a ambos lados.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Combina -7744x y 1936x para obtener -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 484 por a, -5808 por b y 17424 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Obtiene el cuadrado de -5808.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Multiplica -4 por 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Multiplica -1936 por 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Suma 33732864 y -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

El opuesto de -5808 es 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Multiplica 2 por 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Divide 5808 por 968.

$$x=6$$

Sustituya 6 por x en la ecuación 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Simplifica. El valor x=6 satisface la ecuación.

$$11=11$$

La ecuación 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 tiene una solución única.

$$x=6$$