Solucionar 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 256x^{2}+ax+bx+1. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

La solución es el par que proporciona suma -32.

$$a=-16 b=-16$$

Vuelva a escribir 256x^{2}-32x+1 como \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Simplifica 16x en el primer grupo y -1 en el segundo.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Simplifica el término común 16x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 256 por a, -32 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Obtiene el cuadrado de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Multiplica -4 por 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Suma 1024 y -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

El opuesto de -32 es 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Multiplica 2 por 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Reduzca la fracción \frac{32}{512} a su mínima expresión extrayendo y anulando 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Resta 1 en los dos lados de la ecuación.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Al restar 1 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Divide los dos lados por 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Al dividir por 256, se deshace la multiplicación por 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Reduzca la fracción \frac{-32}{256} a su mínima expresión extrayendo y anulando 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Divida -\frac{1}{8}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{1}{16}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{16} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{16}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Suma -\frac{1}{256} y \frac{1}{256}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Suma \frac{1}{16} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.

$$x=\frac{1}{16}$$