Solucionar 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Factorizar

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pasos de la solución

Factoriza la expresión agrupando. Primero, es necesario volver a escribir la expresión como 25n^{2}+an+bn+9. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

La solución es el par que proporciona suma -30.

$$a=-15 b=-15$$

Vuelva a escribir 25n^{2}-30n+9 como \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Factoriza 5n en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Simplifica el término común 5n-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pasos para usar cuadrado de binomio

El trinomio tiene la forma de un cuadrado de trinomio, tal vez multiplicado por un factor común. Los cuadrados de trinomio solo se pueden factorizar si se obtienen las raíces cuadradas del primer término y del último.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Obtiene el máximo común divisor de los coeficientes.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Obtiene la raíz cuadrada del primer término, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Obtiene la raíz cuadrada del último término, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

El cuadrado del trinomio es el cuadrado del binomio, que es la suma o diferencia de las raíces cuadradas del primer y último término, con el signo determinado por el signo del término medio del cuadrado del trinomio.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Obtiene el cuadrado de -30.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplica -4 por 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplica -100 por 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Suma 900 y -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

El opuesto de -30 es 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Multiplica 2 por 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Factorice la expresión original con ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sustituya \frac{3}{5} por x_{1} y \frac{3}{5} por x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{3}{5} de n. Para hacerlo, calcula un denominador común y resta los numeradores. Después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{3}{5} de n. Para hacerlo, calcula un denominador común y resta los numeradores. Después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Multiplica \frac{5n-3}{5} por \frac{5n-3}{5}. Para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Multiplica 5 por 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Cancela el máximo común divisor 25 en 25 y 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Calcular

$$\left(5n-3\right)^{2}$$