Solucionar 248x^2-6x-144=0

$$248 x ^ { 2 } - 6 x - 144 = 0$$

Resolver para x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{24}{31}\approx 0,774193548$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 2.

$$124x^{2}-3x-72=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 124x^{2}+ax+bx-72. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-3 ab=124\left(-72\right)=-8928$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -8928.

$$1,-8928 2,-4464 3,-2976 4,-2232 6,-1488 8,-1116 9,-992 12,-744 16,-558 18,-496 24,-372 31,-288 32,-279 36,-248 48,-186 62,-144 72,-124 93,-96$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-8928=-8927 2-4464=-4462 3-2976=-2973 4-2232=-2228 6-1488=-1482 8-1116=-1108 9-992=-983 12-744=-732 16-558=-542 18-496=-478 24-372=-348 31-288=-257 32-279=-247 36-248=-212 48-186=-138 62-144=-82 72-124=-52 93-96=-3$$

La solución es el par que proporciona suma -3.

$$a=-96 b=93$$

Vuelva a escribir 124x^{2}-3x-72 como \left(124x^{2}-96x\right)+\left(93x-72\right).

$$\left(124x^{2}-96x\right)+\left(93x-72\right)$$

Factoriza 4x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$4x\left(31x-24\right)+3\left(31x-24\right)$$

Simplifica el término común 31x-24 con la propiedad distributiva.

$$\left(31x-24\right)\left(4x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 31x-24=0 y 4x+3=0.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$248x^{2}-6x-144=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 248 por a, -6 por b y -144 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 248\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

Obtiene el cuadrado de -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 248\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

Multiplica -4 por 248.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-992\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

Multiplica -992 por -144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+142848}}{2\times 248}$$

Suma 36 y 142848.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{142884}}{2\times 248}$$

Toma la raíz cuadrada de 142884.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±378}{2\times 248}$$

El opuesto de -6 es 6.

$$x=\frac{6±378}{2\times 248}$$

Multiplica 2 por 248.

$$x=\frac{6±378}{496}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{6±378}{496} dónde ± es más. Suma 6 y 378.

$$x=\frac{384}{496}$$

Reduzca la fracción \frac{384}{496} a su mínima expresión extrayendo y anulando 16.

$$x=\frac{24}{31}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{6±378}{496} dónde ± es menos. Resta 378 de 6.

$$x=-\frac{372}{496}$$

Reduzca la fracción \frac{-372}{496} a su mínima expresión extrayendo y anulando 124.

$$x=-\frac{3}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$248x^{2}-6x-144=0$$

Suma 144 a los dos lados de la ecuación.

$$248x^{2}-6x-144-\left(-144\right)=-\left(-144\right)$$

Al restar -144 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$248x^{2}-6x=-\left(-144\right)$$

Resta -144 de 0.

$$248x^{2}-6x=144$$

Divide los dos lados por 248.

$$\frac{248x^{2}-6x}{248}=\frac{144}{248}$$

Al dividir por 248, se deshace la multiplicación por 248.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{248}\right)x=\frac{144}{248}$$

Reduzca la fracción \frac{-6}{248} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x=\frac{144}{248}$$

Reduzca la fracción \frac{144}{248} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x=\frac{18}{31}$$

Divida -\frac{3}{124}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{3}{248}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{3}{248} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\left(-\frac{3}{248}\right)^{2}=\frac{18}{31}+\left(-\frac{3}{248}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{3}{248}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}=\frac{18}{31}+\frac{9}{61504}$$

Suma \frac{18}{31} y \frac{9}{61504}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}=\frac{35721}{61504}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{248}\right)^{2}=\frac{35721}{61504}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{248}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{35721}{61504}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{248}=\frac{189}{248} x-\frac{3}{248}=-\frac{189}{248}$$

Suma \frac{3}{248} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$