Solucionar 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Resolver para x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 24x^{2}+ax+bx+21. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

La solución es el par que proporciona suma -65.

$$a=-56 b=-9$$

Vuelva a escribir 24x^{2}-65x+21 como \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Factoriza 8x en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Simplifica el término común 3x-7 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x-7=0 y 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 24 por a, -65 por b y 21 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Obtiene el cuadrado de -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplica -4 por 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplica -96 por 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Suma 4225 y -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Toma la raíz cuadrada de 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

El opuesto de -65 es 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Multiplica 2 por 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{65±47}{48} dónde ± es más. Suma 65 y 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Reduzca la fracción \frac{112}{48} a su mínima expresión extrayendo y anulando 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{65±47}{48} dónde ± es menos. Resta 47 de 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Reduzca la fracción \frac{18}{48} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Resta 21 en los dos lados de la ecuación.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Al restar 21 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Divide los dos lados por 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Al dividir por 24, se deshace la multiplicación por 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Reduzca la fracción \frac{-21}{24} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Divida -\frac{65}{24}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{65}{48}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{65}{48} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{65}{48}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Suma -\frac{7}{8} y \frac{4225}{2304}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Factor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Suma \frac{65}{48} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$