Solucionar 2z^2+z+1=0

$$2 z ^ { 2 } + z + 1 = 0$$

Resolver para z

$$z=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,25+0,661437828i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}\approx -0,25-0,661437828i$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$2z^{2}+z+1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 2 por a, 1 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Obtiene el cuadrado de 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-8}}{2\times 2}$$

Suma 1 y -8.

$$z=\frac{-1±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Toma la raíz cuadrada de -7.

$$z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{4} dónde ± es más. Suma -1 y i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{4} dónde ± es menos. Resta i\sqrt{7} de -1.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$z=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+z+1=0$$

Resta 1 en los dos lados de la ecuación.

$$2z^{2}+z+1-1=-1$$

Al restar 1 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$2z^{2}+z=-1$$

Divide los dos lados por 2.

$$\frac{2z^{2}+z}{2}=-\frac{1}{2}$$

Al dividir por 2, se deshace la multiplicación por 2.

$$z^{2}+\frac{1}{2}z=-\frac{1}{2}$$

Divida \frac{1}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{1}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{1}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$z^{2}+\frac{1}{2}z+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Suma -\frac{1}{2} y \frac{1}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=-\frac{7}{16}$$

Factor z^{2}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Simplifica.

$$z+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} z+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Resta \frac{1}{4} en los dos lados de la ecuación.

$$z=\frac{-1+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-1}{4}$$