Solucionar 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Resolver para x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Pasos de la solución

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Expande \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcula 11 a la potencia de 2 y obtiene 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-5x} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 121 por x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Resta 121x^{2} en los dos lados.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Combina 76x^{2} y -121x^{2} para obtener -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Agrega 605x a ambos lados.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Combina 120x y 605x para obtener 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 36 y q divide el 4 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-4$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 entre x+4 para obtener 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 9 y q divide el 4 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=9$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 entre x-9 para obtener 4x^{2}-20x-1. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 4 por a, -20 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Resuelva la ecuación 4x^{2}-20x-1=0 cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Mostrar todas las soluciones encontradas.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Sustituya -4 por x en la ecuación 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Simplifica. El valor x=-4 satisface la ecuación.

$$72=72$$

Sustituya 9 por x en la ecuación 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Simplifica. El valor x=9 satisface la ecuación.

$$72=72$$

Sustituya \frac{5-\sqrt{26}}{2} por x en la ecuación 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Simplifica. El valor x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} no satisface la ecuación.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Sustituya \frac{\sqrt{26}+5}{2} por x en la ecuación 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Simplifica. El valor x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} no satisface la ecuación.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Enumere todas las soluciones de 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$