Solucionar 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Resolver para x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Resta 2y en los dos lados.

$$2x-2y=14$$

Considere la segunda ecuación. Agrega 5x a ambos lados.

$$3y+5x=3$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Elija una de las ecuaciones y resuelva el x x en el lado izquierdo del signo igual.

$$2x-2y=14$$

Suma 2y a los dos lados de la ecuación.

$$2x=2y+14$$

Divide los dos lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 14+2y.

$$x=y+7$$

Sustituye y+7 por x en la otra ecuación, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Multiplica 5 por y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Suma 5y y 3y.

$$8y+35=3$$

Resta 35 en los dos lados de la ecuación.

$$8y=-32$$

Divide los dos lados por 8.

$$y=-4$$

Sustituye -4 por y en x=y+7. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=-4+7$$

Suma 7 y -4.

$$x=3$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=3,y=-4$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Resta 2y en los dos lados.

$$2x-2y=14$$

Considere la segunda ecuación. Agrega 5x a ambos lados.

$$3y+5x=3$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplica la ecuación por la matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), por lo que la ecuación de la matriz se puede reescribir como un problema de multiplicación de la matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=3,y=-4$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Resta 2y en los dos lados.

$$2x-2y=14$$

Considere la segunda ecuación. Agrega 5x a ambos lados.

$$3y+5x=3$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Para que 2x y 5x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 5 y todos los términos de cada lado de la segunda por 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Simplifica.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Resta 10x+6y=6 de 10x-10y=70. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Suma 10x y -10x. Los términos 10x y -10x se anulan entre sí y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$-10y-6y=70-6$$

Suma -10y y -6y.

$$-16y=70-6$$

Suma 70 y -6.

$$-16y=64$$

Divide los dos lados por -16.

$$y=-4$$

Sustituye -4 por y en 5x+3y=3. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Multiplica 3 por -4.

$$5x-12=3$$

Suma 12 a los dos lados de la ecuación.

$$5x=15$$

Divide los dos lados por 5.

$$x=3$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=3,y=-4$$