Solucionar 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Resolver para r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 2r^{2}+ar+br+54. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

La solución es el par que proporciona suma 21.

$$a=9 b=12$$

Vuelva a escribir 2r^{2}+21r+54 como \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Factoriza r en el primero y 6 en el segundo grupo.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Simplifica el término común 2r+9 con la propiedad distributiva.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2r+9=0 y r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 2 por a, 21 por b y 54 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Obtiene el cuadrado de 21.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Suma 441 y -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Toma la raíz cuadrada de 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación r=\frac{-21±3}{4} dónde ± es más. Suma -21 y 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Reduzca la fracción \frac{-18}{4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación r=\frac{-21±3}{4} dónde ± es menos. Resta 3 de -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Divide -24 por 4.

$$r=-6$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Resta 54 en los dos lados de la ecuación.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Al restar 54 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Divide los dos lados por 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Al dividir por 2, se deshace la multiplicación por 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Divide -54 por 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Divida \frac{21}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{21}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{21}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{21}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Suma -27 y \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifica.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Resta \frac{21}{4} en los dos lados de la ecuación.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$