Solucionar 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Resolver para x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 18x^{2}+ax+bx-5. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -9.

$$a=-15 b=6$$

Vuelva a escribir 18x^{2}-9x-5 como \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Simplifica 3x en 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Simplifica el término común 6x-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 6x-5=0 y 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 18 por a, -9 por b y -5 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Obtiene el cuadrado de -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplica -4 por 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplica -72 por -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Suma 81 y 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Toma la raíz cuadrada de 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

El opuesto de -9 es 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplica 2 por 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{9±21}{36} cuando ± es más. Suma 9 y 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Reduzca la fracción \frac{30}{36} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{9±21}{36} cuando ± es menos. Resta 21 de 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Reduzca la fracción \frac{-12}{36} a su mínima expresión extrayendo y anulando 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Suma 5 a los dos lados de la ecuación.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Al restar -5 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Resta -5 de 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Divide los dos lados por 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Al dividir por 18, se deshace la multiplicación por 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{-9}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Divida -\frac{1}{2}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{1}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{4} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Suma \frac{5}{18} y \frac{1}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Suma \frac{1}{4} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$