Solucionar 16x^2+16x+4=49

$$16 x ^ { 2 } + 16 x + 4 = 49$$

Resolver para x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2,25$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Resta 49 en los dos lados.

$$16x^{2}+16x+4-49=0$$

Resta 49 de 4 para obtener -45.

$$16x^{2}+16x-45=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 16x^{2}+ax+bx-45. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=16 ab=16\left(-45\right)=-720$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -720.

$$-1,720 -2,360 -3,240 -4,180 -5,144 -6,120 -8,90 -9,80 -10,72 -12,60 -15,48 -16,45 -18,40 -20,36 -24,30$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+720=719 -2+360=358 -3+240=237 -4+180=176 -5+144=139 -6+120=114 -8+90=82 -9+80=71 -10+72=62 -12+60=48 -15+48=33 -16+45=29 -18+40=22 -20+36=16 -24+30=6$$

La solución es el par que proporciona suma 16.

$$a=-20 b=36$$

Vuelva a escribir 16x^{2}+16x-45 como \left(16x^{2}-20x\right)+\left(36x-45\right).

$$\left(16x^{2}-20x\right)+\left(36x-45\right)$$

Factoriza 4x en el primero y 9 en el segundo grupo.

$$4x\left(4x-5\right)+9\left(4x-5\right)$$

Simplifica el término común 4x-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(4x-5\right)\left(4x+9\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 4x-5=0 y 4x+9=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{9}{4}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$16x^{2}+16x+4=49$$

Resta 49 en los dos lados de la ecuación.

$$16x^{2}+16x+4-49=49-49$$

Al restar 49 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$16x^{2}+16x+4-49=0$$

Resta 49 de 4.

$$16x^{2}+16x-45=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 16 por a, 16 por b y -45 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 16\left(-45\right)}}{2\times 16}$$

Obtiene el cuadrado de 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 16\left(-45\right)}}{2\times 16}$$

Multiplica -4 por 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-64\left(-45\right)}}{2\times 16}$$

Multiplica -64 por -45.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2880}}{2\times 16}$$

Suma 256 y 2880.

$$x=\frac{-16±\sqrt{3136}}{2\times 16}$$

Toma la raíz cuadrada de 3136.

$$x=\frac{-16±56}{2\times 16}$$

Multiplica 2 por 16.

$$x=\frac{-16±56}{32}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-16±56}{32} dónde ± es más. Suma -16 y 56.

$$x=\frac{40}{32}$$

Reduzca la fracción \frac{40}{32} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-16±56}{32} dónde ± es menos. Resta 56 de -16.

$$x=-\frac{72}{32}$$

Reduzca la fracción \frac{-72}{32} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{9}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+16x+4=49$$

Resta 4 en los dos lados de la ecuación.

$$16x^{2}+16x+4-4=49-4$$

Al restar 4 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$16x^{2}+16x=49-4$$

Resta 4 de 49.

$$16x^{2}+16x=45$$

Divide los dos lados por 16.

$$\frac{16x^{2}+16x}{16}=\frac{45}{16}$$

Al dividir por 16, se deshace la multiplicación por 16.

$$x^{2}+\frac{16}{16}x=\frac{45}{16}$$

Divide 16 por 16.

$$x^{2}+x=\frac{45}{16}$$

Divida 1, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{1}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{45}{16}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{45}{16}+\frac{1}{4}$$

Suma \frac{45}{16} y \frac{1}{4}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{4} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{4}$$

Resta \frac{1}{2} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{9}{4}$$