Solucionar 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Resolver para y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 15y^{2}+ay+by+1. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 15.

$$1,15 3,5$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+15=16 3+5=8$$

La solución es el par que proporciona suma 8.

$$a=3 b=5$$

Vuelva a escribir 15y^{2}+8y+1 como \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Simplifica 3y en 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Simplifica el término común 5y+1 con la propiedad distributiva.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 5y+1=0 y 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 15 por a, 8 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Obtiene el cuadrado de 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Multiplica -4 por 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Suma 64 y -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Toma la raíz cuadrada de 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Multiplica 2 por 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{-8±2}{30} dónde ± es más. Suma -8 y 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Reduzca la fracción \frac{-6}{30} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{-8±2}{30} dónde ± es menos. Resta 2 de -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Reduzca la fracción \frac{-10}{30} a su mínima expresión extrayendo y anulando 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Resta 1 en los dos lados de la ecuación.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Al restar 1 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Divide los dos lados por 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Al dividir por 15, se deshace la multiplicación por 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Divida \frac{8}{15}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{4}{15}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{4}{15} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{4}{15}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Suma -\frac{1}{15} y \frac{16}{225}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Factor y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Simplifica.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Resta \frac{4}{15} en los dos lados de la ecuación.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$