Solucionar 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Resolver para n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 13n^{2}+an+bn-120. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -41.

$$a=-65 b=24$$

Vuelva a escribir 13n^{2}-41n-120 como \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Factoriza 13n en el primero y 24 en el segundo grupo.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Simplifica el término común n-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva n-5=0 y 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 13 por a, -41 por b y -120 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Obtiene el cuadrado de -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplica -4 por 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplica -52 por -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Suma 1681 y 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Toma la raíz cuadrada de 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

El opuesto de -41 es 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Multiplica 2 por 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{41±89}{26} dónde ± es más. Suma 41 y 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Divide 130 por 26.

$$n=5$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{41±89}{26} dónde ± es menos. Resta 89 de 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Reduzca la fracción \frac{-48}{26} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Suma 120 a los dos lados de la ecuación.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Al restar -120 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Resta -120 de 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Divide los dos lados por 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Al dividir por 13, se deshace la multiplicación por 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Divida -\frac{41}{13}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{41}{26}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{41}{26} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{41}{26}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Suma \frac{120}{13} y \frac{1681}{676}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Factor n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Suma \frac{41}{26} a los dos lados de la ecuación.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$