Solucionar 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Resolver para x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx-2300. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

La solución es el par que proporciona suma 200.

$$a=-30 b=230$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+200x-2300 como \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 230 en el segundo grupo.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Simplifica el término común x-10 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-10=0 y 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 120 por a, 8000 por b y -92000 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Obtiene el cuadrado de 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplica -4 por 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplica -480 por -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Suma 64000000 y 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Toma la raíz cuadrada de 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multiplica 2 por 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-8000±10400}{240} dónde ± es más. Suma -8000 y 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Divide 2400 por 240.

$$x=10$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-8000±10400}{240} dónde ± es menos. Resta 10400 de -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Reduzca la fracción \frac{-18400}{240} a su mínima expresión extrayendo y anulando 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Suma 92000 a los dos lados de la ecuación.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Al restar -92000 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Resta -92000 de 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Divide los dos lados por 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Al dividir por 120, se deshace la multiplicación por 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Reduzca la fracción \frac{8000}{120} a su mínima expresión extrayendo y anulando 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Reduzca la fracción \frac{92000}{120} a su mínima expresión extrayendo y anulando 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Divida \frac{200}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{100}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{100}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{100}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Suma \frac{2300}{3} y \frac{10000}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Resta \frac{100}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$