Solucionar 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Factorizar

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Pasos de la solución

Factoriza la expresión agrupando. Primero, es necesario volver a escribir la expresión como 12t^{2}+at+bt-10. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La solución es el par que proporciona suma -7.

$$a=-15 b=8$$

Vuelva a escribir 12t^{2}-7t-10 como \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Factoriza 3t en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Simplifica el término común 4t-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Obtiene el cuadrado de -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Suma 49 y 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Toma la raíz cuadrada de 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

El opuesto de -7 es 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{7±23}{24} dónde ± es más. Suma 7 y 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Reduzca la fracción \frac{30}{24} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{7±23}{24} dónde ± es menos. Resta 23 de 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Reduzca la fracción \frac{-16}{24} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Factorice la expresión original con ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sustituya \frac{5}{4} por x_{1} y -\frac{2}{3} por x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifica todas las expresiones con la forma p-\left(-q\right) a p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Resta \frac{5}{4} de t. Para hacerlo, calcula un denominador común y resta los numeradores. Después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Suma \frac{2}{3} y t. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Multiplica \frac{4t-5}{4} por \frac{3t+2}{3}. Para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Multiplica 4 por 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Cancela el máximo común divisor 12 en 12 y 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Calcular

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$