Solucionar 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Resolver para n

$$n=6$$

$$n=15$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Resta 30 de -48 para obtener -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Resta n^{2} en los dos lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Agrega 9n a ambos lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n y 9n para obtener 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Resta 12 en los dos lados.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Resta 12 de -78 para obtener -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -n^{2}+an+bn-90. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

La solución es el par que proporciona suma 21.

$$a=15 b=6$$

Vuelva a escribir -n^{2}+21n-90 como \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Factoriza -n en el primero y 6 en el segundo grupo.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Simplifica el término común n-15 con la propiedad distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva n-15=0 y -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Resta 30 de -48 para obtener -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Resta n^{2} en los dos lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Agrega 9n a ambos lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n y 9n para obtener 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Resta 12 en los dos lados.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Resta 12 de -78 para obtener -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 21 por b y -90 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 441 y -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{-21±9}{-2} dónde ± es más. Suma -21 y 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Divide -12 por -2.

$$n=6$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{-21±9}{-2} dónde ± es menos. Resta 9 de -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Divide -30 por -2.

$$n=15$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=6 n=15$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Resta 30 de -48 para obtener -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Resta n^{2} en los dos lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Agrega 9n a ambos lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n y 9n para obtener 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Agrega 78 a ambos lados.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Suma 12 y 78 para obtener 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Divide 21 por -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Divide 90 por -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Divida -21, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{21}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{21}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{21}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Suma -90 y \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Factor n^{2}-21n+\frac{441}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Suma \frac{21}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$n=15 n=6$$