Solucionar 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Resolver para x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 12 por a, -102 por b y 160 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Obtiene el cuadrado de -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Suma 10404 y -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Toma la raíz cuadrada de 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

El opuesto de -102 es 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} cuando ± es más. Suma 102 y 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Divide 102+2\sqrt{681} por 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} cuando ± es menos. Resta 2\sqrt{681} de 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Divide 102-2\sqrt{681} por 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Resta 160 en los dos lados de la ecuación.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Al restar 160 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Divide los dos lados por 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Al dividir por 12, se deshace la multiplicación por 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Reduzca la fracción \frac{-102}{12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Reduzca la fracción \frac{-160}{12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Divida -\frac{17}{2}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{17}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{17}{4} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{17}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Suma -\frac{40}{3} y \frac{289}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Factoriza x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Suma \frac{17}{4} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$