Solucionar 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Resolver para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 12x^{2}+ax+bx+5. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La solución es el par que proporciona suma 32.

$$a=2 b=30$$

Vuelva a escribir 12x^{2}+32x+5 como \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Simplifica 2x en el primer grupo y 5 en el segundo.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Simplifica el término común 6x+1 con la propiedad distributiva.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 6x+1=0 y 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 12 por a, 32 por b y 5 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Obtiene el cuadrado de 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Suma 1024 y -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Toma la raíz cuadrada de 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-32±28}{24} cuando ± es más. Suma -32 y 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Reduzca la fracción \frac{-4}{24} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-32±28}{24} cuando ± es menos. Resta 28 de -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Reduzca la fracción \frac{-60}{24} a su mínima expresión extrayendo y anulando 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Resta 5 en los dos lados de la ecuación.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Al restar 5 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Divide los dos lados por 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Al dividir por 12, se deshace la multiplicación por 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Reduzca la fracción \frac{32}{12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Divida \frac{8}{3}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener \frac{4}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{4}{3} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{4}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Suma -\frac{5}{12} y \frac{16}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Factoriza x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Resta \frac{4}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$