Solucionar 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Resolver para x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 1000x^{2}+ax+bx-561. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -561000.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

La solución es el par que proporciona suma -590.

$$a=-1100 b=510$$

Vuelva a escribir 1000x^{2}-590x-561 como \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Simplifica 100x en el primer grupo y 51 en el segundo.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Simplifica el término común 10x-11 con la propiedad distributiva.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 10x-11=0 y 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 1000 por a, -590 por b y -561 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Obtiene el cuadrado de -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplica -4 por 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplica -4000 por -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Suma 348100 y 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Toma la raíz cuadrada de 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

El opuesto de -590 es 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Multiplica 2 por 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{590±1610}{2000} cuando ± es más. Suma 590 y 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Reduzca la fracción \frac{2200}{2000} a su mínima expresión extrayendo y anulando 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{590±1610}{2000} cuando ± es menos. Resta 1610 de 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Reduzca la fracción \frac{-1020}{2000} a su mínima expresión extrayendo y anulando 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Suma 561 a los dos lados de la ecuación.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Al restar -561 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Resta -561 de 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Divide los dos lados por 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Al dividir por 1000, se deshace la multiplicación por 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Reduzca la fracción \frac{-590}{1000} a su mínima expresión extrayendo y anulando 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Divida -\frac{59}{100}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{59}{200}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{59}{200} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{59}{200}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Suma \frac{561}{1000} y \frac{3481}{40000}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Factoriza x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Suma \frac{59}{200} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$