Solucionar 100sqrt{x}=2x+100

$$100 \sqrt{ x } = 2x+100$$

Resolver para x

$$x=1200-250\sqrt{23}\approx 1,042119172$$

$$x=250\sqrt{23}+1200\approx 2398,957880828$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(100\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Expande \left(100\sqrt{x}\right)^{2}.

$$100^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Calcula 100 a la potencia de 2 y obtiene 10000.

$$10000\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x} a la potencia de 2 y obtiene x.

$$10000x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$10000x=4x^{2}+400x+10000$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$10000x-4x^{2}=400x+10000$$

Resta 400x en los dos lados.

$$10000x-4x^{2}-400x=10000$$

Combina 10000x y -400x para obtener 9600x.

$$9600x-4x^{2}=10000$$

Resta 10000 en los dos lados.

$$9600x-4x^{2}-10000=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-4x^{2}+9600x-10000=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -4 por a, 9600 por b y -10000 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{9600^{2}-4\left(-4\right)\left(-10000\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 9600.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92160000-4\left(-4\right)\left(-10000\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica -4 por -4.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92160000+16\left(-10000\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 16 por -10000.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92160000-160000}}{2\left(-4\right)}$$

Suma 92160000 y -160000.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92000000}}{2\left(-4\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 92000000.

$$x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 2 por -4.

$$x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{-8}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{-8} dónde ± es más. Suma -9600 y 2000\sqrt{23}.

$$x=\frac{2000\sqrt{23}-9600}{-8}$$

Divide -9600+2000\sqrt{23} por -8.

$$x=1200-250\sqrt{23}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{-8} dónde ± es menos. Resta 2000\sqrt{23} de -9600.

$$x=\frac{-2000\sqrt{23}-9600}{-8}$$

Divide -9600-2000\sqrt{23} por -8.

$$x=250\sqrt{23}+1200$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=1200-250\sqrt{23} x=250\sqrt{23}+1200$$

Sustituya 1200-250\sqrt{23} por x en la ecuación 100\sqrt{x}=2x+100.

$$100\sqrt{1200-250\sqrt{23}}=2\left(1200-250\sqrt{23}\right)+100$$

Simplifica. El valor x=1200-250\sqrt{23} satisface la ecuación.

$$2500-500\times 23^{\frac{1}{2}}=2500-500\times 23^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 250\sqrt{23}+1200 por x en la ecuación 100\sqrt{x}=2x+100.

$$100\sqrt{250\sqrt{23}+1200}=2\left(250\sqrt{23}+1200\right)+100$$

Simplifica. El valor x=250\sqrt{23}+1200 satisface la ecuación.

$$2500+500\times 23^{\frac{1}{2}}=500\times 23^{\frac{1}{2}}+2500$$

Enumere todas las soluciones de 100\sqrt{x}=2x+100.

$$x=1200-250\sqrt{23} x=250\sqrt{23}+1200$$