Solucionar -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplique la desigualdad por -1 para hacer que el coeficiente de la potencia más alta se convierta en -2x^{2}+12x-14 positivo. Dado que -1 es negativa, se cambia la dirección de desigualdad.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 2 por a, -12 por b y 14 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, x-\left(\sqrt{2}+3\right) y x-\left(3-\sqrt{2}\right) deben tener los signos opuestos. Considere el caso cuando x-\left(\sqrt{2}+3\right) sea positivo y x-\left(3-\sqrt{2}\right) sea negativo.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\left(3-\sqrt{2}\right) sea positivo y x-\left(\sqrt{2}+3\right) sea negativo.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$