Solucionar -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Resolver para x

$$x=9$$

$$x=36$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Resta 124 en los dos lados.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Resta 124 de -200 para obtener -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx-324. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

La solución es el par que proporciona suma 45.

$$a=36 b=9$$

Vuelva a escribir -x^{2}+45x-324 como \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

Factoriza -x en el primero y 9 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Simplifica el término común x-36 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-36=0 y -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Resta 124 en los dos lados de la ecuación.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Al restar 124 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Resta 124 de -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 45 por b y -324 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 2025 y -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-45±27}{-2} dónde ± es más. Suma -45 y 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Divide -18 por -2.

$$x=9$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-45±27}{-2} dónde ± es menos. Resta 27 de -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Divide -72 por -2.

$$x=36$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=9 x=36$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Suma 200 a los dos lados de la ecuación.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Al restar -200 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Resta -200 de 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Divide 45 por -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Divide 324 por -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Divida -45, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{45}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{45}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{45}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Suma -324 y \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Factor x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Suma \frac{45}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=36 x=9$$