Solucionar (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Resolver para d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right,$$

Pasos para resolver una ecuación lineal

Multiplique ambos lados de la ecuación por 12, el mínimo común denominador de 3,2,4.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6. Multiplica \frac{y^{3}}{3} por \frac{2}{2}. Multiplica \frac{x^{2}}{2} por \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Como \frac{2y^{3}}{6} y \frac{3x^{2}}{6} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 12 por y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Cancela el máximo común divisor 6 en 12 y 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por 2y^{3}+3x^{2}.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 12y+4y^{3}+6x^{2} por d.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d por x.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por x+xy^{2}.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3x+3xy^{2} por d.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3xd+3xy^{2}d por y.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Combina 12ydx y 3xdy para obtener 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Combina 4y^{3}dx y 3xdy^{3} para obtener 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Combina todos los términos que contienen d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

La ecuación está en formato estándar.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Divide 0 por 15yx+7y^{3}x+6x^{3}.

$$d=0$$

Resolver para x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$