Solucionar (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Resolver para x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Pasos de la solución

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, -6 por b y 7 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, x-\left(\sqrt{2}+3\right) y x-\left(3-\sqrt{2}\right) deben tener los signos opuestos. Considere el caso cuando x-\left(\sqrt{2}+3\right) sea positivo y x-\left(3-\sqrt{2}\right) sea negativo.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\left(3-\sqrt{2}\right) sea positivo y x-\left(\sqrt{2}+3\right) sea negativo.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$