Solucionar (x-3/2)^2+2x(x-1/2)<3(x^2+1/4)

$$( x - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } + 2 x ( x - \frac { 1 } { 2 } ) < 3 ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } )$$

Resolver para x

$$x>\frac{3}{8}$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}+2x\left(x-\frac{1}{2}\right)<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por x-\frac{1}{2}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}+2x^{2}-x<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Combina x^{2} y 2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}-3x+\frac{9}{4}-x<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Combina -3x y -x para obtener -4x.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por x^{2}+\frac{1}{4}.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}<3x^{2}+\frac{3}{4}$$

Resta 3x^{2} en los dos lados.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}-3x^{2}<\frac{3}{4}$$

Combina 3x^{2} y -3x^{2} para obtener 0.

$$-4x+\frac{9}{4}<\frac{3}{4}$$

Resta \frac{9}{4} en los dos lados.

$$-4x<\frac{3}{4}-\frac{9}{4}$$

Resta \frac{9}{4} de \frac{3}{4} para obtener -\frac{3}{2}.

$$-4x<-\frac{3}{2}$$

Divide los dos lados por -4. Dado que -4 es negativa, se cambia la dirección de desigualdad.

$$x>\frac{-\frac{3}{2}}{-4}$$

Expresa \frac{-\frac{3}{2}}{-4} como una única fracción.

$$x>\frac{-3}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 2 y -4 para obtener -8.

$$x>\frac{-3}{-8}$$

La fracción \frac{-3}{-8} se puede simplificar a \frac{3}{8} quitando el signo negativo del numerador y el denominador.

$$x>\frac{3}{8}$$