Solucionar (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Resolver para v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Resta 2v^{2} en los dos lados.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combina v^{2} y -2v^{2} para obtener -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Resta 2v en los dos lados.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combina 8v y -2v para obtener 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Resta 9 en los dos lados.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Resta 9 de 16 para obtener 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -v^{2}+av+bv+7. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=7 b=-1$$

Vuelva a escribir -v^{2}+6v+7 como \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Factoriza -v en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Simplifica el término común v-7 con la propiedad distributiva.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva v-7=0 y -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Resta 2v^{2} en los dos lados.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combina v^{2} y -2v^{2} para obtener -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Resta 2v en los dos lados.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combina 8v y -2v para obtener 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Resta 9 en los dos lados.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Resta 9 de 16 para obtener 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 6 por b y 7 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 36 y 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación v=\frac{-6±8}{-2} dónde ± es más. Suma -6 y 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Divide 2 por -2.

$$v=-1$$

Ahora, resuelva la ecuación v=\frac{-6±8}{-2} dónde ± es menos. Resta 8 de -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Divide -14 por -2.

$$v=7$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$v=-1 v=7$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Resta 2v^{2} en los dos lados.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combina v^{2} y -2v^{2} para obtener -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Resta 2v en los dos lados.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combina 8v y -2v para obtener 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Resta 16 en los dos lados.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Resta 16 de 9 para obtener -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Divide 6 por -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Divide -7 por -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Divida -6, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -3. A continuación, agregue el cuadrado de -3 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Suma 7 y 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Factor v^{2}-6v+9. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifica.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Suma 3 a los dos lados de la ecuación.

$$v=7 v=-1$$