Solucionar (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Suma 81 y 162 para obtener 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Combina -90x y -180x para obtener -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Combina 25x^{2} y 50x^{2} para obtener 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Resta 24 de 243 para obtener 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 75 por a, -270 por b y 219 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} y x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} deben tener los signos opuestos. Considere el caso cuando x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} sea positivo y x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} sea negativo.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} sea positivo y x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} sea negativo.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$