Solucionar (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

Resolver para x

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4,823085464$$

Pasos de la solución

Calcula 6 a la potencia de 2 y obtiene 36.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

Resta 8x en los dos lados.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Calcula \sqrt{x} a la potencia de 2 y obtiene x.

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

Suma 36 y 36 para obtener 72.

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

Combina 4x y -8x para obtener -4x.

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

Resta 72 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

Resta -4x en los dos lados de la ecuación.

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Expande \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Calcula -24 a la potencia de 2 y obtiene 576.

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x} a la potencia de 2 y obtiene x.

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4x-72\right)^{2}.

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

Resta 16x^{2} en los dos lados.

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

Agrega 576x a ambos lados.

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

Combina 576x y 576x para obtener 1152x.

$$1152x-16x^{2}=5184$$

Resta 5184 en los dos lados.

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -16 por a, 1152 por b y -5184 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 1152.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica -4 por -16.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 64 por -5184.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

Suma 1327104 y -331776.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 995328.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 2 por -16.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} dónde ± es más. Suma -1152 y 576\sqrt{3}.

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Divide -1152+576\sqrt{3} por -32.

$$x=36-18\sqrt{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} dónde ± es menos. Resta 576\sqrt{3} de -1152.

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Divide -1152-576\sqrt{3} por -32.

$$x=18\sqrt{3}+36$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

Sustituya 36-18\sqrt{3} por x en la ecuación \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

Simplifica. El valor x=36-18\sqrt{3} satisface la ecuación.

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 18\sqrt{3}+36 por x en la ecuación \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

Simplifica. El valor x=18\sqrt{3}+36 no satisface la ecuación.

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

La ecuación -24\sqrt{x}=4x-72 tiene una solución única.

$$x=36-18\sqrt{3}$$