Solucionar (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Resolver para x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Multiplica los dos lados de la ecuación por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Cancela el máximo común divisor 2 en 8 y 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 48 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Como \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} y \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplica 48 y 4 para obtener 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expande \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresa 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como una única fracción.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anula 4 y 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 y x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resta 624 en los dos lados.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Resta 624 de 192 para obtener -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx-108. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

La solución es el par que proporciona suma 12.

$$a=-6 b=18$$

Vuelva a escribir x^{2}+12x-108 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Factoriza x en el primero y 18 en el segundo grupo.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Simplifica el término común x-6 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-6=0 y x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica los dos lados de la ecuación por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Cancela el máximo común divisor 2 en 8 y 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 48 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Como \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} y \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplica 48 y 4 para obtener 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expande \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresa 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como una única fracción.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anula 4 y 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 y x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resta 624 en los dos lados.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Resta 624 de 192 para obtener -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 4 por a, 48 por b y -432 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Obtiene el cuadrado de 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Suma 2304 y 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Toma la raíz cuadrada de 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-48±96}{8} dónde ± es más. Suma -48 y 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Divide 48 por 8.

$$x=6$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-48±96}{8} dónde ± es menos. Resta 96 de -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Divide -144 por 8.

$$x=-18$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=6 x=-18$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplica los dos lados de la ecuación por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Cancela el máximo común divisor 2 en 8 y 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 48 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Como \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} y \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplica 48 y 4 para obtener 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expande \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresa 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como una única fracción.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anula 4 y 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 y x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resta 192 en los dos lados.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Resta 192 de 624 para obtener 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Divide 48 por 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Divide 432 por 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Divida 12, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener 6. A continuación, agregue el cuadrado de 6 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Obtiene el cuadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Suma 108 y 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Factor x^{2}+12x+36. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplifica.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$x=6 x=-18$$